identitas trigonometri sudut rangkap

 

Rumus Sudut Rangkap

Rumus sudut rangkap dapat digunakan mencari nilai besar pada sudut trigonometri di luar sudut istimewa. Contohnya, diketahui bahwa sudut 60° adalah merupakan sudut istimewa hingga dengan mudah bisa diketahui nilainya. Bagaimanakah kalian bisamengetahui nilai sudut 120° ? Di mana kita mengetahui bahwa sudut 120°bukan sudut istimewa.?

Di sinilah fungsi rumus trigonometri sudut rangkap. Nilai 120° adalah hasil dari 2 x 60°. Sudut 120° memang bukan dari sudut istiewa, namun sudut 60° adalah sudut istimewa. Dengan memanfaatkan rumus trigonometri, besar nilai sudut 120° bsa diketahui tanpa memakai alat bantu hitung.

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Sinus

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan padrumus berikut.

sin 2 α = 2sinα cosα

Bukti :
sin2α = sin (α+α)
sin2α = sinα cosα = cosα sinα
sin2α = sinα cosα + sinα cosα
sin2α = 2sinα cosα

Terbukti

Contoh Soal pemakaian Sudut Rangkap Sinus

Jika sinα = 3/5 dan α adalah sudut lancip, tentukan nilai sin2α

Pembahasan:

sinα = 3/5
cosα = 4/5

Sehingga,

sin 2α = 2. sinα cosα
sin 2α = 2 . 3/5 . 4/5
sin 2α = 6/25

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Cosinus

Terdapat tiga rumus yang bisa dipakai untuk menentukan nilai suatu sudut rangkap cosinus. Ketiga rumus itu adalah

Cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = 1 -2 sin2α
cos 2α = 2 sin2α – 1

Bukti :

Cos 2α = cos ( α+α )
cos 2α = cosα cosα – sinα sinα
cos 2α = cos2α – cos2α

Sebelum membuktikan kedua rumus lainnya, ingat bahwa rumus identitas trigonometri sin2α + cos2α = 1.

Cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = (1-sin2α) – sin2α
cos 2α = 1 – sin2α – sin2α
cos 2α = 1 – 2sin2α

cos 2α = cos2α – sin2α
cos 2α = cos2α – (1 – cos2α)
cos 2α = cos2α – 1 + cos2α
cocs 2α = cos2α + cos2α – 1
cos 2α = 2cos2α – 1

Rumus Sudut Rangkap Fungsi Tangen

Rumus sudut rangkap sinus dinyatakan dalam rumus berikut.

tan2α = 2tanα / 1-tan2α

Bukti :

tan2α = tan (α + α)
tan2α = tanα + tanα / 1- tanα tanα
tan2α = 2tanα / 1-tan2α

Terbukti

 soal: 

Diketahuiui sin x = 1/4, tentukan nilai dari cos 2x.

Pembahasan
Rumus sudut rangkap untuk cosinus.

cos 2x = cos2 x − sin2x cos 2x = 2 cos2 x − 1 cos 2x = 1 − 2 sin2 x

Gunakan rumus ketiga
cos 2x = 1 − 2 sin² x
= 1 − 2 (1/4)²
= 1 − 2/16 = 16/16 − 2/16 = 14 / 16 = 7 / 8